檢視正五邊形的原始碼

[[分類:數學]]
<div style='float:right;'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/01/Regular_polygon_5_annotated.svg' width='360' height='364'/></div>
===五頂點座標===
中心座標為 (x,y) ，外接圓半徑為 R ，上方為第一頂點，順時鐘方向， svg 中五頂點座標為：
# (x,y-R)
# (x+R×cos18°,y-R×sin18°)
# (x+R×cos54°,y+R×sin54°)
# (x-R×cos54°,y+R×sin54°)
# (x-R×cos18°,y-R×sin18°)

五頂點在標準圓中之夾角為：0°、 72° 、 144° 、 216° 、 288°

內切圓半徑為 r ， r/R = sin54° = cos36°

邊長為 t
:<math>r = \frac{t}{2\tan ( \pi /5)}=\frac{t}{2\sqrt{5-\sqrt{20}}}\approx 0.6882 \cdot t</math>
:<math>r = \frac{(\sqrt{5}+1)}{4}</math>R
:<math>t = \sqrt{\frac {5-\sqrt 5}{2}}\cdot R = 2\sqrt{5-\sqrt{20}}\cdot r</math>
:<math>R = \sqrt{\frac {2}{5-\sqrt 5}} \approx 0.8507 \cdot t</math>
:高<math> = \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2} \cdot</math>t<math>\approx 1.539 \cdot t</math>
:寬<math> = \frac{1+\sqrt5}{2} \cdot </math>t<math>\approx 1.618 \cdot t</math>
:對角線長<math> = R\ {\sqrt { \frac {5+\sqrt{5}}{2}} } = 2R\cos 18^\circ = 2R\cos\frac{\pi}{10} \approx 1.902 R</math>

===sin18°===
sin18°=<math>\frac{(\sqrt{5}-1)}{4}</math>，cos36°=<math>\frac{(\sqrt{5}+1)}{4}</math>

====方法一：====
<div style='float:right'><img src='https://sabotensabo.com/wp-content/uploads/2019shimane9.jpg' width=200 height=* /></div>
先作一個 36°-72°-72° 的三角形ABC，∠A=36° <br>
作角B(72° )平分線交AC於D <br>
設AB長=1，BD長=x <br>
由角度關係可知AD=BD=BC=x，CD=1-x <br>
易證：△ABC~△BCD(AA相似) <br>
x/(1-x)=1/x <br>
解之得x=(√5-1)/2 <br>
又根據餘弦：BC<sup>2</sup>=AB<sup>2</sup>+AC<sup>2</sup>-2*AB*AC*cos∠A <br>
x<sup>2</sup>=1+1-2cos36°=((√5-1)/2)<sup>2</sup>=(3-√5)/2 <br>
算出cos36°=(√5+1)/4，再用二倍角公式算得cos72°=sin18°=(√5-1)/4

====方法二：====
sin36°<br>
=2sin18°cos18°<br>
sin36°<br>
=sin(90°-54°)<br>
=sin90°cos54°-cos90°sin54°<br>
=cos54°<br>
=4(cos18°)<sup>3</sup>-3cos18°<br>
2sin18°cos18°=4(cos18°)<sup>3</sup>-3cos18°<br>
cos18°(4(cos18°)<sup>2</sup>-3-2sin18°)=0<br>
4(1-sin18°<sup>2</sup>)-2sin18°-3=0<br>
4(sin18°)<sup>2</sup>+2sin18°-1=0<br>
解之得sin18°=(√5-1)/4

===可組成正十二面體===
略