正五邊形

五頂點座標

中心座標為 (x,y) ，外接圓半徑為 R ，上方為第一頂點，順時鐘方向， svg 中五頂點座標為：

(x,y-R)
(x+R×cos18°,y-R×sin18°)
(x+R×cos54°,y+R×sin54°)
(x-R×cos54°,y+R×sin54°)
(x-R×cos18°,y-R×sin18°)

五頂點在標準圓中之夾角為：0°、 72° 、 144° 、 216° 、 288°

內切圓半徑為 r ， r/R = sin54° = cos36°

邊長為 t

[math]r = \frac{t}{2\tan ( \pi /5)}=\frac{t}{2\sqrt{5-\sqrt{20}}}\approx 0.6882 \cdot t[/math]

[math]r = \frac{(\sqrt{5}+1)}{4}[/math]R

[math]t = \sqrt{\frac {5-\sqrt 5}{2}}\cdot R = 2\sqrt{5-\sqrt{20}}\cdot r[/math]

[math]R = \sqrt{\frac {2}{5-\sqrt 5}} \approx 0.8507 \cdot t[/math]

高[math] = \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2} \cdot[/math]t[math]\approx 1.539 \cdot t[/math]

寬[math] = \frac{1+\sqrt5}{2} \cdot [/math]t[math]\approx 1.618 \cdot t[/math]

對角線長[math] = R\ {\sqrt { \frac {5+\sqrt{5}}{2}} } = 2R\cos 18^\circ = 2R\cos\frac{\pi}{10} \approx 1.902 R[/math]

sin18°

sin18°=[math]\frac{(\sqrt{5}-1)}{4}[/math]，cos36°=[math]\frac{(\sqrt{5}+1)}{4}[/math]

方法一：

先作一個 36°-72°-72° 的三角形ABC，∠A=36°
作角B(72° )平分線交AC於D
設AB長=1，BD長=x
由角度關係可知AD=BD=BC=x，CD=1-x
易證：△ABC~△BCD(AA相似)
x/(1-x)=1/x
解之得x=(√5-1)/2
又根據餘弦：BC²=AB²+AC²-2*AB*AC*cos∠A
x²=1+1-2cos36°=((√5-1)/2)²=(3-√5)/2
算出cos36°=(√5+1)/4，再用二倍角公式算得cos72°=sin18°=(√5-1)/4

方法二：

sin36°
=2sin18°cos18°
sin36°
=sin(90°-54°)
=sin90°cos54°-cos90°sin54°
=cos54°
=4(cos18°)³-3cos18°
2sin18°cos18°=4(cos18°)³-3cos18°
cos18°(4(cos18°)²-3-2sin18°)=0
4(1-sin18°²)-2sin18°-3=0
4(sin18°)²+2sin18°-1=0
解之得sin18°=(√5-1)/4

可組成正十二面體

略