一元三次方程式

出自跨校選修
於 2025年11月22日 (六) 17:29 由 丁志仁（討論 | 貢獻） 所做的修訂 （→‎解法二：參數法）
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參數法簡表

n1,
n,
-(n+1)		x3-3px+q=0
設 x=u+v
或 x=uω2+vω
或 x=uω+vω2		設 uv=p,u3+v3=-q
則 [uω,vω2] 與
[uω2,vω] 兩數對的
乘積=p且立方和=-q		[math]Z^2+n(n+1)Z+[\frac{n(n+1)+1}{3}]^3=0[/math]

[math]Z=\frac{-n(n+1)}{2} \pm \sqrt{[\frac{n(n+1)}{2}]^2-\frac{[n(n+1)+1]^3}{3^3}}[/math]

u,v=[math]\frac{n}{2}[/math]±[math]\frac{n+2}{2\sqrt{3}}i[/math]

[math]Z=\frac{-n(n+1)}{2} \pm \frac{(n-1)(2n+1)(n+2)}{6\sqrt{3}}i[/math]

n=ω1,ω,ω2x3-0x-1=0uv=0,u3+v3=1Z2-Z=0Z=0,1u,v=0,1 或0,ω 或0,ω2u,v=[math]\frac{ω}{2}[/math]±[math]\frac{ω+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=-11,-1,0x3-x=0uv=1/3,u3+v3=0Z2+[math]\frac{1}{27}[/math]=0Z=±[math]\frac{1}{3\sqrt{3}}[/math]iu,v=±[math]\frac{1}{\sqrt{3}}[/math]iuω,vω2=
[math]\frac{-1}{2}[/math]±[math]\frac{-1+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=0 1,0,-1x3-x=0uv=1/3,u3+v3=0Z2+[math]\frac{1}{27}[/math]=0Z=±[math]\frac{1}{3\sqrt{3}}[/math]iu,v=±[math]\frac{1}{\sqrt{3}}[/math]iu,v=[math]\frac{0}{2}[/math]±[math]\frac{0+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=1 1,1,-2x3-3x+2=0uv=1,u3+v3=-2Z2+2Z+1=0Z=-1,-1u,v=-1,-1 或-ω,-ω2u,v=[math]\frac{1}{2}[/math]±[math]\frac{1+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=2 1,2,-3x3-7x+6=0uv=7/3,u3+v3=-6Z2+6Z+[math](\frac{7}{3})^3[/math]=0Z=-3±[math]\frac{10i}{3\sqrt{3}}[/math]u,v=1±[math]\frac{2}{\sqrt3}i[/math]u,v=[math]\frac{2}{2}[/math]±[math]\frac{2+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=3 1,3,-4x3-13x+12=0uv=13/3,u3+v3=-12Z2+12Z+[math](\frac{13}{3})^3[/math]=0Z=-6±[math]\frac{35i}{3\sqrt{3}}[/math]u,v=[math]\frac{3}{2}[/math]±[math]\frac{2.5}{\sqrt3}i[/math]u,v=[math]\frac{3}{2}[/math]±[math]\frac{3+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=4 1,4,-5x3-21x+20=0uv=7,u3+v3=-20Z2+20Z+[math]7^3[/math]=0Z=-10±[math]9\sqrt{3}i[/math]u,v=2±[math]\sqrt3i[/math]u,v=[math]\frac{4}{2}[/math]±[math]\frac{4+2}{2\sqrt{3}}i[/math]

解法一：卡爾丹法

階段一：變形去除三次項

1.[math]at^3 + bt^2 + ct + d = 0 \Rightarrow [/math] 以 [math]t = x - \frac{b}{3a}[/math] 代入

2.得 [math]x^3 - 3px + q = 0 [/math]，令其三根為 [math]x_1,x_2,x_3[/math]

階段二：變身為二次方程式

3.

令[math]\begin{cases} x_1=u + v \\ x_2=u \omega + v \omega^2 \\ x_3=u \omega^2 + v \omega \end{cases}[/math][math] \Rightarrow [/math][math](x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0[/math][math] \Rightarrow [/math][math]\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-3uv=-3p \\ -x_1x_2x_3=-(u^3+v^3)=q \end{cases}[/math]

4.

設[math]\begin{cases} Z_1=u^3 \\ Z_2=v^3 \end{cases}[/math][math] \Rightarrow [/math][math]\begin{cases} Z_1+Z_2=-q \\ Z_1Z_2=(p)^3 \end{cases}[/math]

5.故 [math]Z_1,Z_2[/math] 為 [math]Z^2+qZ+(p)^3=0[/math] 的兩根

階段三：以二次方程式之兩根求三次方程式之三根

6.

[math]u=\sqrt[3]{Z_1} , v=\sqrt[3]{Z_2}[/math][math]\begin{cases} x_1=u + v \\ x_2=u \omega + v \omega^2 \\ x_3=u \omega^2 + v \omega \end{cases}[/math]

解法二：參數法

階段一：同卡爾單法的階段一

得 x3-3px+q=0

  1. 一元三次方程式必有一實根，改變單位，重新將此實根定義為 1 單位。
  2. 另一根與此根的比值定為 n 則三根為 1,n,-(n+1)
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