一元三次方程式

n	1, n, -(n+1)	x3-3px+q=0 設 x=u+v 或 x=uω2+vω 或 x=uω+vω2	設 uv=p,u3+v3=-q 則 [uω,vω2] 與 [uω2,vω] 兩數對的 乘積=p且立方和=-q	[math]Z^2+n(n+1)Z+[\frac{n(n+1)+1}{3}]^3=0[/math]	[math]Z=\frac{-n(n+1)}{2} \pm \sqrt{[\frac{n(n+1)}{2}]^2-\frac{[n(n+1)+1]^3}{3^3}}[/math]		u,v=[math]\frac{n}{2}[/math]±[math]\frac{n+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
					[math]Z=\frac{-n(n+1)}{2} \pm \frac{(n-1)(2n+1)(n+2)}{6\sqrt{3}}i[/math]
n=ω	1,ω,ω2	x3-0x-1=0	uv=0,u3+v3=1	Z2-Z=0	Z=0,1	u,v=0,1 或0,ω 或0,ω2	u,v=[math]\frac{ω}{2}[/math]±[math]\frac{ω+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=-1	1,-1,0	x3-x=0	uv=1/3,u3+v3=0	Z2+[math]\frac{1}{27}[/math]=0	Z=±[math]\frac{1}{3\sqrt{3}}[/math]i	u,v=±[math]\frac{1}{\sqrt{3}}[/math]i	uω,vω2= [math]\frac{-1}{2}[/math]±[math]\frac{-1+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=0	1,0,-1	x3-x=0	uv=1/3,u3+v3=0	Z2+[math]\frac{1}{27}[/math]=0	Z=±[math]\frac{1}{3\sqrt{3}}[/math]i	u,v=±[math]\frac{1}{\sqrt{3}}[/math]i	u,v=[math]\frac{0}{2}[/math]±[math]\frac{0+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=1	1,1,-2	x3-3x+2=0	uv=1,u3+v3=-2	Z2+2Z+1=0	Z=-1,-1	u,v=-1,-1 或-ω,-ω2	u,v=[math]\frac{1}{2}[/math]±[math]\frac{1+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=2	1,2,-3	x3-7x+6=0	uv=7/3,u3+v3=-6	Z2+6Z+[math](\frac{7}{3})^3[/math]=0	Z=-3±[math]\frac{10i}{3\sqrt{3}}[/math]	u,v=1±[math]\frac{2}{\sqrt3}i[/math]	u,v=[math]\frac{2}{2}[/math]±[math]\frac{2+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=3	1,3,-4	x3-13x+12=0	uv=13/3,u3+v3=-12	Z2+12Z+[math](\frac{13}{3})^3[/math]=0	Z=-6±[math]\frac{35i}{3\sqrt{3}}[/math]	u,v=[math]\frac{3}{2}[/math]±[math]\frac{2.5}{\sqrt3}i[/math]	u,v=[math]\frac{3}{2}[/math]±[math]\frac{3+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=4	1,4,-5	x3-21x+20=0	uv=7,u3+v3=-20	Z2+20Z+[math]7^3[/math]=0	Z=-10±[math]9\sqrt{3}i[/math]	u,v=2±[math]\sqrt3i[/math]	u,v=[math]\frac{4}{2}[/math]±[math]\frac{4+2}{2\sqrt{3}}i[/math]

階段一：變形去除三次項

1.[math]at^3 + bt^2 + ct + d = 0 \Rightarrow [/math] 以 [math]t = x - \frac{b}{3a}[/math] 代入

2.得 [math]x^3 + px + q = 0 [/math]，令其三根為 [math]x_1,x_2,x_3[/math]