一元三次方程式

參數法簡表

n	1, n, -(n+1)	x3-3px+q=0 設 x=u+v 或 x=uω2+vω 或 x=uω+vω2	設 uv=p,u3+v3=-q 則 [uω,vω2] 與 [uω2,vω] 兩數對的 乘積=p且立方和=-q	[math]Z^2+n(n+1)Z+[\frac{n(n+1)+1}{3}]^3=0[/math]	[math]Z=\frac{-n(n+1)}{2} \pm \sqrt{[\frac{n(n+1)}{2}]^2-\frac{[n(n+1)+1]^3}{3^3}}[/math]		u,v=[math]\frac{n}{2}[/math]±[math]\frac{n+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
					[math]Z=\frac{-n(n+1)}{2} \pm \frac{(n-1)(2n+1)(n+2)}{6\sqrt{3}}i[/math]
n=ω k=2	2,2ω,2ω2	x3-0x-8=0	uv=0,u3+v3=1	Z2-Z=0	Z=0,1	u,v=0,1 或0,ω 或0,ω2	u,v=[math]\frac{ω}{2}[/math]±[math]\frac{ω+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=ω	1,ω,ω2	x3-0x-1=0	uv=0,u3+v3=1	Z2-Z=0	Z=0,1	u,v=0,1 或0,ω 或0,ω2	u,v=[math]\frac{ω}{2}[/math]±[math]\frac{ω+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=-1	1,-1,0	x3-x=0	uv=1/3,u3+v3=0	Z2+[math]\frac{1}{27}[/math]=0	Z=±[math]\frac{1}{3\sqrt{3}}[/math]i	u,v=±[math]\frac{1}{\sqrt{3}}[/math]i	uω,vω2= [math]\frac{-1}{2}[/math]±[math]\frac{-1+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=0	1,0,-1	x3-x=0	uv=1/3,u3+v3=0	Z2+[math]\frac{1}{27}[/math]=0	Z=±[math]\frac{1}{3\sqrt{3}}[/math]i	u,v=±[math]\frac{1}{\sqrt{3}}[/math]i	u,v=[math]\frac{0}{2}[/math]±[math]\frac{0+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=1	1,1,-2	x3-3x+2=0	uv=1,u3+v3=-2	Z2+2Z+1=0	Z=-1,-1	u,v=-1,-1 或-ω,-ω2	u,v=[math]\frac{1}{2}[/math]±[math]\frac{1+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=2	1,2,-3	x3-7x+6=0	uv=7/3,u3+v3=-6	Z2+6Z+[math](\frac{7}{3})^3[/math]=0	Z=-3±[math]\frac{10i}{3\sqrt{3}}[/math]	u,v=1±[math]\frac{2}{\sqrt3}i[/math]	u,v=[math]\frac{2}{2}[/math]±[math]\frac{2+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=3	1,3,-4	x3-13x+12=0	uv=13/3,u3+v3=-12	Z2+12Z+[math](\frac{13}{3})^3[/math]=0	Z=-6±[math]\frac{35i}{3\sqrt{3}}[/math]	u,v=[math]\frac{3}{2}[/math]±[math]\frac{2.5}{\sqrt3}i[/math]	u,v=[math]\frac{3}{2}[/math]±[math]\frac{3+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
n=4	1,4,-5	x3-21x+20=0	uv=7,u3+v3=-20	Z2+20Z+[math]7^3[/math]=0	Z=-10±[math]9\sqrt{3}i[/math]	u,v=2±[math]\sqrt3i[/math]	u,v=[math]\frac{4}{2}[/math]±[math]\frac{4+2}{2\sqrt{3}}i[/math]

解法一：卡爾丹法

階段一：變形去除三次項

1.[math]at^3 + bt^2 + ct + d = 0 \Rightarrow [/math] 以 [math]t = x - \frac{b}{3a}[/math] 代入

2.得 [math]x^3 - 3px + q = 0 [/math]，令其三根為 [math]x_1,x_2,x_3[/math]

階段二：變身為二次方程式

3.

令[math]\begin{cases} x_1=u + v \\ x_2=u \omega + v \omega^2 \\ x_3=u \omega^2 + v \omega \end{cases}[/math]	[math] \Rightarrow [/math]	[math](x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0[/math]	[math] \Rightarrow [/math]	[math]\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-3uv=-3p \\ -x_1x_2x_3=-(u^3+v^3)=q \end{cases}[/math]

4.

設[math]\begin{cases} Z_1=u^3 \\ Z_2=v^3 \end{cases}[/math]	[math] \Rightarrow [/math]	[math]\begin{cases} Z_1+Z_2=-q \\ Z_1Z_2=(p)^3 \end{cases}[/math]

5.故 [math]Z_1,Z_2[/math] 為 [math]Z^2+qZ+(p)^3=0[/math] 的兩根

階段三：以二次方程式之兩根求三次方程式之三根

6.

[math]u=\sqrt[3]{Z_1} , v=\sqrt[3]{Z_2}[/math]	[math]\begin{cases} x_1=u + v \\ x_2=u \omega + v \omega^2 \\ x_3=u \omega^2 + v \omega \end{cases}[/math]

7.若 [math]Z_1,Z_2[/math] 非為實數則必為共軛複數，則 u,v 亦為共軛複數

[math]a,b 為實數 u=a+bi , v=a-bi[/math]	[math]\begin{cases} x_1=u + v=2a \\ x_2=u \omega + v \omega^2=-a-\sqrt3b \\ x_3=u \omega^2 + v \omega=-a+\sqrt3b \end{cases}[/math]

解法二：參數法

用於表達 u,v 與根之間的簡潔對應關係

階段一：同卡爾單法的階段一

得 x³-3px+q=0

1. 一元三次方程式必有一實根，改變單位，重新將此實根定義為 1 單位。
2. 另一根與此根的比值定為 n 則三根為 1,n,-(n+1)

階段二：變身為二次方程式

原式=(x-1)(x-n)(x+n+1)=X³-(n²+n+1)x+n(n+1)=0

q=n(n+1),3p=n(n+1)+1

[math]Z^2+qZ+(p)^3=0=Z^2+n(n+1)Z+[\frac{n(n+1)+1}{3}]^3[/math]

[math]Z=\frac{-n(n+1)}{2}[/math]±[math]\sqrt{[\frac{n(n+1)}{2}]^2-[\frac{n(n+1)+1}{3}]^3}[/math]

令 [math]f(n)=[\frac{n(n+1)}{2}]^2-[\frac{n(n+1)+1}{3}]^3 \\ f(n)=\frac{-1}{108}(4n^6+12n^5-3n^4-26n^3-3n^2+12n+4) \\ f(n)=\frac{-1}{108}(n-1)^2(2n+1)^2(n+2)^2 \\ \sqrt{f(n)}=\frac{i}{6\sqrt3}(n-1)(2n+1)(n+2)[/math]

所以

[math]Z=\frac{-n(n+1)}{2} \pm \frac{(n-1)(2n+1)(n+2)}{6\sqrt3}i \\ =\frac{1}{24\sqrt3}[-3\sqrt3\cdot4\cdot n(n+1)\pm(-8n^3-12n^2+12n+8)i] \\ =\frac{1}{24\sqrt3}[(3\sqrt3n^3-3\sqrt3n(n^2+4n+4))\pm(n^3+6n^2+12n+8-9n^3-18n^2)i] \\ =(\frac{1}{2\sqrt3})^3(\sqrt3n\pm(n+2)i)^3 =[\frac{1}{2\sqrt3}(\sqrt3n\pm(n+2)i)]^3=[\frac{n}{2}\pm\frac{n+2}{2\sqrt3}i]^3 \\ u,v=\frac{n}{2}\pm\frac{n+2}{2\sqrt3}i[/math]

階段三：以二次方程式之兩根求三次方程式之三根

同卡爾單法的階段三

推廣：即使三根之中沒有 1 ，如 x³-8=0

如階段一所示：

1. 取實根之一： k 為單位 1 ，取另一根(kn)對單位根(k)之比值為 n ，一切推理仍然成立。
2. 只是求得的第三根為 -k(n+1) ，是 -(n+1) 的 k 倍，仍維持三根之和為 0 。
3. 請見本頁「參數法簡表」的第一列。

參法法的另一種推理思路

1. 按參數法結論：u,v 為 [math]\frac{n}{2}[/math]±[math]\frac{n+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
2. 按 u,v 為共軛複數 a±bi 則三根為 [math]2a,-a+\sqrt3b,-a-\sqrt3b[/math] (卡爾單法的第 7 點)
3. 則依第一點：[math]2a=n, -a+\sqrt3b=1, -a-\sqrt3b=-(n+1)[/math]，此關係恆成立