「一元三次方程式」修訂間的差異
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<tr><th>n=ω</th><th>1,ω,ω<sup>2</sup></th><th>x<sup>3</sup>-0x-1=0</th><th>uv=0,u<sup>3</sup>+v<sup>3</sup>=1</th><th>Z<sup>2</sup>-Z=0</th><th>Z=0,1</th><th>u,v=0,1 或0,ω 或0,ω<sup>2</sup></th><th>u,v=<math>\frac{ω}{2}</math>±<math>\frac{ω+2}{2\sqrt{3}}i</math></th></tr> | <tr><th>n=ω</th><th>1,ω,ω<sup>2</sup></th><th>x<sup>3</sup>-0x-1=0</th><th>uv=0,u<sup>3</sup>+v<sup>3</sup>=1</th><th>Z<sup>2</sup>-Z=0</th><th>Z=0,1</th><th>u,v=0,1 或0,ω 或0,ω<sup>2</sup></th><th>u,v=<math>\frac{ω}{2}</math>±<math>\frac{ω+2}{2\sqrt{3}}i</math></th></tr> | ||
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1.<math>at^3 + bt^2 + ct + d = 0 \Rightarrow </math> 以 <math>t = x - \frac{b}{3a}</math> 代入 | 1.<math>at^3 + bt^2 + ct + d = 0 \Rightarrow </math> 以 <math>t = x - \frac{b}{3a}</math> 代入 | ||
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x_3=u \omega^2 + v \omega | x_3=u \omega^2 + v \omega | ||
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| + | x_1=u + v=2a \\ | ||
| + | x_2=u \omega + v \omega^2=-a-\sqrt3b \\ | ||
| + | x_3=u \omega^2 + v \omega=-a+\sqrt3b | ||
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| + | ==解法二：參數法== | ||
| + | 用於表達 u,v 與根之間的簡潔對應關係 | ||
| + | ===階段一：同卡爾單法的階段一=== | ||
| + | 得 x<sup>3</sup>-3px+q=0 | ||
| + | #一元三次方程式必有一實根，改變單位，重新將此實根定義為 1 單位。 | ||
| + | #另一根與此根的比值定為 n 則三根為 1,n,-(n+1) | ||
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| + | ===階段二：變身為二次方程式=== | ||
| + | 原式=(x-1)(x-n)(x+n+1)=X<sup>3</sup>-(n<sup>2</sup>+n+1)x+n(n+1)=0 | ||
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| + | <math>Z=\frac{-n(n+1)}{2} \pm \frac{(n-1)(2n+1)(n+2)}{6\sqrt3}i \\ | ||
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| + | =\frac{1}{24\sqrt3}[(3\sqrt3n^3-3\sqrt3n(n^2+4n+4))\pm(n^3+6n^2+12n+8-9n^3-18n^2)i] \\ | ||
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| + | =(\frac{1}{2\sqrt3})^3(\sqrt3n\pm(n+2)i)^3 =[\frac{1}{2\sqrt3}(\sqrt3n\pm(n+2)i)]^3=[\frac{n}{2}\pm\frac{n+2}{2\sqrt3}i]^3 \\ | ||
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| + | u,v=\frac{n}{2}\pm\frac{n+2}{2\sqrt3}i</math> | ||
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| + | ===階段三：以二次方程式之兩根求三次方程式之三根=== | ||
| + | 同卡爾單法的階段三 | ||
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| + | ===推廣：即使三根之中沒有 1 ，如 x<sup>3</sup>-8=0=== | ||
| + | 如階段一所示： | ||
| + | # 取實根之一： k 為單位 1 ，取另一根(kn)對單位根(k)之比值為 n ，一切推理仍然成立。 | ||
| + | # 只是求得的第三根為 -k(n+1) ，是 -(n+1) 的 k 倍，仍維持三根之和為 0 。 | ||
| + | # 請見本頁「參數法簡表」的第一列。 | ||
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| + | ===參法法的另一種推理思路=== | ||
| + | # 按參數法結論：u,v 為 <math>\frac{n}{2}</math>±<math>\frac{n+2}{2\sqrt{3}}i</math> | ||
| + | # 按 u,v 為共軛複數 a±bi 則三根為 <math>2a,-a+\sqrt3b,-a-\sqrt3b</math> (卡爾單法的第 7 點) | ||
| + | # 則依第一點：<math>2a=n, -a+\sqrt3b=1, -a-\sqrt3b=-(n+1)</math>，此關係恆成立 | ||
於 2025年11月23日 (日) 12:35 的最新修訂
參數法簡表
| n | 1, n, -(n+1) | x3-3px+q=0 設 x=u+v 或 x=uω2+vω 或 x=uω+vω2 | 設 uv=p,u3+v3=-q 則 [uω,vω2] 與 [uω2,vω] 兩數對的 乘積=p且立方和=-q | [math]Z^2+n(n+1)Z+[\frac{n(n+1)+1}{3}]^3=0[/math] |
[math]Z=\frac{-n(n+1)}{2} \pm \sqrt{[\frac{n(n+1)}{2}]^2-\frac{[n(n+1)+1]^3}{3^3}}[/math] | u,v=[math]\frac{n}{2}[/math]±[math]\frac{n+2}{2\sqrt{3}}i[/math] | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
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[math]Z=\frac{-n(n+1)}{2} \pm \frac{(n-1)(2n+1)(n+2)}{6\sqrt{3}}i[/math] | |||||||
| n=ω k=2 | 2,2ω,2ω2 | x3-0x-8=0 | uv=0,u3+v3=1 | Z2-Z=0 | Z=0,1 | u,v=0,1 或0,ω 或0,ω2 | u,v=[math]\frac{ω}{2}[/math]±[math]\frac{ω+2}{2\sqrt{3}}i[/math] |
| n=ω | 1,ω,ω2 | x3-0x-1=0 | uv=0,u3+v3=1 | Z2-Z=0 | Z=0,1 | u,v=0,1 或0,ω 或0,ω2 | u,v=[math]\frac{ω}{2}[/math]±[math]\frac{ω+2}{2\sqrt{3}}i[/math] |
| n=-1 | 1,-1,0 | x3-x=0 | uv=1/3,u3+v3=0 | Z2+[math]\frac{1}{27}[/math]=0 | Z=±[math]\frac{1}{3\sqrt{3}}[/math]i | u,v=±[math]\frac{1}{\sqrt{3}}[/math]i | uω,vω2= [math]\frac{-1}{2}[/math]±[math]\frac{-1+2}{2\sqrt{3}}i[/math] |
| n=0 | 1,0,-1 | x3-x=0 | uv=1/3,u3+v3=0 | Z2+[math]\frac{1}{27}[/math]=0 | Z=±[math]\frac{1}{3\sqrt{3}}[/math]i | u,v=±[math]\frac{1}{\sqrt{3}}[/math]i | u,v=[math]\frac{0}{2}[/math]±[math]\frac{0+2}{2\sqrt{3}}i[/math] |
| n=1 | 1,1,-2 | x3-3x+2=0 | uv=1,u3+v3=-2 | Z2+2Z+1=0 | Z=-1,-1 | u,v=-1,-1 或-ω,-ω2 | u,v=[math]\frac{1}{2}[/math]±[math]\frac{1+2}{2\sqrt{3}}i[/math] |
| n=2 | 1,2,-3 | x3-7x+6=0 | uv=7/3,u3+v3=-6 | Z2+6Z+[math](\frac{7}{3})^3[/math]=0 | Z=-3±[math]\frac{10i}{3\sqrt{3}}[/math] | u,v=1±[math]\frac{2}{\sqrt3}i[/math] | u,v=[math]\frac{2}{2}[/math]±[math]\frac{2+2}{2\sqrt{3}}i[/math] |
| n=3 | 1,3,-4 | x3-13x+12=0 | uv=13/3,u3+v3=-12 | Z2+12Z+[math](\frac{13}{3})^3[/math]=0 | Z=-6±[math]\frac{35i}{3\sqrt{3}}[/math] | u,v=[math]\frac{3}{2}[/math]±[math]\frac{2.5}{\sqrt3}i[/math] | u,v=[math]\frac{3}{2}[/math]±[math]\frac{3+2}{2\sqrt{3}}i[/math] |
| n=4 | 1,4,-5 | x3-21x+20=0 | uv=7,u3+v3=-20 | Z2+20Z+[math]7^3[/math]=0 | Z=-10±[math]9\sqrt{3}i[/math] | u,v=2±[math]\sqrt3i[/math] | u,v=[math]\frac{4}{2}[/math]±[math]\frac{4+2}{2\sqrt{3}}i[/math] |
解法一：卡爾丹法
階段一：變形去除三次項
1.[math]at^3 + bt^2 + ct + d = 0 \Rightarrow [/math] 以 [math]t = x - \frac{b}{3a}[/math] 代入
2.得 [math]x^3 - 3px + q = 0 [/math]，令其三根為 [math]x_1,x_2,x_3[/math]
階段二：變身為二次方程式
3.
| 令[math]\begin{cases} x_1=u + v \\ x_2=u \omega + v \omega^2 \\ x_3=u \omega^2 + v \omega \end{cases}[/math] | [math] \Rightarrow [/math] | [math](x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0[/math] | [math] \Rightarrow [/math] | [math]\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-3uv=-3p \\ -x_1x_2x_3=-(u^3+v^3)=q \end{cases}[/math] |
|---|
4.
| 設[math]\begin{cases} Z_1=u^3 \\ Z_2=v^3 \end{cases}[/math] | [math] \Rightarrow [/math] | [math]\begin{cases} Z_1+Z_2=-q \\ Z_1Z_2=(p)^3 \end{cases}[/math] |
|---|
5.故 [math]Z_1,Z_2[/math] 為 [math]Z^2+qZ+(p)^3=0[/math] 的兩根
階段三：以二次方程式之兩根求三次方程式之三根
6.
| [math]u=\sqrt[3]{Z_1} , v=\sqrt[3]{Z_2}[/math] | [math]\begin{cases} x_1=u + v \\ x_2=u \omega + v \omega^2 \\ x_3=u \omega^2 + v \omega \end{cases}[/math] |
|---|
7.若 [math]Z_1,Z_2[/math] 非為實數則必為共軛複數，則 u,v 亦為共軛複數
| [math]a,b 為實數 u=a+bi , v=a-bi[/math] | [math]\begin{cases} x_1=u + v=2a \\ x_2=u \omega + v \omega^2=-a-\sqrt3b \\ x_3=u \omega^2 + v \omega=-a+\sqrt3b \end{cases}[/math] |
|---|
解法二：參數法
用於表達 u,v 與根之間的簡潔對應關係
階段一：同卡爾單法的階段一
得 x3-3px+q=0
- 一元三次方程式必有一實根，改變單位，重新將此實根定義為 1 單位。
- 另一根與此根的比值定為 n 則三根為 1,n,-(n+1)
階段二：變身為二次方程式
原式=(x-1)(x-n)(x+n+1)=X3-(n2+n+1)x+n(n+1)=0
q=n(n+1),3p=n(n+1)+1
[math]Z^2+qZ+(p)^3=0=Z^2+n(n+1)Z+[\frac{n(n+1)+1}{3}]^3[/math]
[math]Z=\frac{-n(n+1)}{2}[/math]±[math]\sqrt{[\frac{n(n+1)}{2}]^2-[\frac{n(n+1)+1}{3}]^3}[/math]
令 [math]f(n)=[\frac{n(n+1)}{2}]^2-[\frac{n(n+1)+1}{3}]^3 \\ f(n)=\frac{-1}{108}(4n^6+12n^5-3n^4-26n^3-3n^2+12n+4) \\ f(n)=\frac{-1}{108}(n-1)^2(2n+1)^2(n+2)^2 \\ \sqrt{f(n)}=\frac{i}{6\sqrt3}(n-1)(2n+1)(n+2)[/math]
所以
[math]Z=\frac{-n(n+1)}{2} \pm \frac{(n-1)(2n+1)(n+2)}{6\sqrt3}i \\ =\frac{1}{24\sqrt3}[-3\sqrt3\cdot4\cdot n(n+1)\pm(-8n^3-12n^2+12n+8)i] \\ =\frac{1}{24\sqrt3}[(3\sqrt3n^3-3\sqrt3n(n^2+4n+4))\pm(n^3+6n^2+12n+8-9n^3-18n^2)i] \\ =(\frac{1}{2\sqrt3})^3(\sqrt3n\pm(n+2)i)^3 =[\frac{1}{2\sqrt3}(\sqrt3n\pm(n+2)i)]^3=[\frac{n}{2}\pm\frac{n+2}{2\sqrt3}i]^3 \\ u,v=\frac{n}{2}\pm\frac{n+2}{2\sqrt3}i[/math]
階段三：以二次方程式之兩根求三次方程式之三根
同卡爾單法的階段三
推廣：即使三根之中沒有 1 ，如 x3-8=0
如階段一所示：
- 取實根之一： k 為單位 1 ，取另一根(kn)對單位根(k)之比值為 n ，一切推理仍然成立。
- 只是求得的第三根為 -k(n+1) ，是 -(n+1) 的 k 倍，仍維持三根之和為 0 。
- 請見本頁「參數法簡表」的第一列。
參法法的另一種推理思路
- 按參數法結論：u,v 為 [math]\frac{n}{2}[/math]±[math]\frac{n+2}{2\sqrt{3}}i[/math]
- 按 u,v 為共軛複數 a±bi 則三根為 [math]2a,-a+\sqrt3b,-a-\sqrt3b[/math] (卡爾單法的第 7 點)
- 則依第一點：[math]2a=n, -a+\sqrt3b=1, -a-\sqrt3b=-(n+1)[/math]，此關係恆成立